6205. Дан равносторонний треугольник ABC
. Сторона BC
разделена на три равные части точками K
и L
, а точка M
делит сторону AC
в отношении 1:2
, считая от вершины A
. Докажите, что сумма углов AKM
и ALM
равна 30^{\circ}
.
Решение. Пусть точка L
расположена ближе к вершине C
, чем точка K
. Тогда MK\parallel AB
. Поэтому треугольник KMC
— равносторонний. Его медиана ML
является биссектрисой. Значит, \angle CML=30^{\circ}
. Кроме того, \angle AKM=\angle BAK
.
Из равенства треугольников ACL
и ABK
следует, что
\angle CAL=\angle BAK=\angle AKM.
Тогда из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что
\angle AKM+\angle ALM=\angle CAL+\angle ALM=\angle CML=30^{\circ}.
Автор: Произволов В. В.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1996, LIX, 8 класс
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 4, с. 29