6206. Точки P_{1}
, P_{2}
, \dots
, P_{n-1}
делят сторону BC
равностороннего треугольника ABC
на n
равных частей: BP_{1}=P_{1}P_{2}=\dots=P_{n-1}C
. Точка M
выбрана на стороне AC
так, что AM=BP_{1}
. Докажите, что \angle AP_{1}M+\angle AP_{2}M+\dots+\angle AP_{n-1}M=30^{\circ}
, если: а) n=3
; б) n
— произвольное натуральное число.
Решение. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle P_{k}MC=\angle P_{k}AC+\angle AP_{k}M~\Rightarrow~\angle AP_{k}M=\angle P_{k}MC-\angle P_{k}AC,
где k=1
, 2
, \dots
, n-1
. Складывая почленно все такие равенства, получим, что
\angle AP_{1}M+\angle AP_{2}M+\dots+\angle AP_{n-1}M=
=(\angle P_{1}MC+\angle P_{2}MC+\dots+\angle P_{n-1}MC)-(\angle P_{1}AC+\angle P_{2}AC+\dots+\angle P_{n-1}AC).
Пусть n
нечётно (случай чётного n
аналогичен). При симметрии относительно высоты равностороннего треугольника P_{1}MC
точка P_{k}
переходит в точку P_{n+1-k}
, поэтому
\angle P_{k}MC+\angle P_{n+1-k}MC=\angle P_{k}MC+\angle P_{1}MP_{k}=60^{\circ}.
Тогда слагаемые в первой сумме разбиваются на \frac{n-3}{2}
пар, а в каждой паре сумма равна 60^{\circ}
. Кроме того, двум слагаемым «не хватило» пары: \angle P_{1}MC=60^{\circ}
и \angle P_{\frac{n+1}{2}}MC=30^{\circ}
. Значит, первая сумма равна 30^{\circ}\cdot n
.
Во второй сумме слагаемые разбиваются на \frac{n-1}{2}
пар с суммой 60^{\circ}
. Значит, вторая сумма равна 30^{\circ}\cdot(n-1)
. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Произволов В. В.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1996, LIX, 10 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1996, № 3, с. 22, М1546
Источник: Задачник «Кванта». — М1546
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 3, с. 31