6207. Точка X
, лежащая вне непересекающихся окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
такова, что отрезки касательных, проведённых из X
к \omega_{1}
и \omega_{2}
, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к \omega_{1}
и \omega_{2}
.
Решение. Пусть r_{1}
— радиус окружности \omega_{1}
с центром O_{1}
, r_{2}
— радиус окружности \omega_{2}
с центром O_{2}
. Если P
— точка пересечения общей внутренней касательной к окружностям с прямой O_{1}O_{2}
, то
\frac{PO_{1}}{PO_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}.
Пусть прямые, проходящие через точку X
, касаются окружности \omega_{1}
в точках A
и D
, а окружности \omega_{2}
— в точках C
и B
, причём диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке S
(см.рисунок). По теореме синусов
\frac{SO_{1}}{\sin\angle O_{1}AS}=\frac{r_{1}}{\sin\angle O_{1}SA},~\frac{SO_{2}}{\sin\angle O_{2}CS}=\frac{r_{2}}{\sin\angle O_{2}SC}.\eqno(1)
По условию задачи XA=XB=XC=XD
, поэтому точки A
, B
, C
и D
лежат на окружности с центром X
. Поскольку XA\perp AO_{1}
и XC\perp CO_{2}
, то прямые AO_{1}
и CO_{2}
— касательные к этой окружности. На дуге AB
этой окружности, не содержащей точку C
, отметим точку M
. По теореме об угле между касательной и хордой угол O_{1}AS
равен половине дуги AC
, не содержащей точку M
, а угол O_{2}CS
— половине дуги AC
, содержащей точку M
. Поскольку сумма указанных дуг равна 360^{\circ}
, то
\angle O_{1}AS+\angle O_{2}CS=180^{\circ}.
Значит,
\sin\angle O_{1}AS=\sin\angle O_{2}CS.
Кроме того, углы O_{1}SA
и O_{2}SC
равны как вертикальные. Тогда из равенств (1) следует, что
\frac{SO_{1}}{SO_{2}}=\frac{\frac{r_{1}\sin\angle O_{1}AS}{\sin\angle O_{1}SA}}{\frac{r_{2}\sin\angle O_{2}CS}{\sin\angle O_{2}SC}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}.
Поскольку существует единственная точка, делящая отрезок в данном отношении, точки P
и S
совпадают. Аналогичные рассуждения верны и для диагонали BD
. Таким образом доказано, что две диагонали четырёхугольника и две общие внутренние касательные пересекают линию центров в одной и той же точке. Из этого следует требуемое утверждение.
Примечание. Из этой задачи следует такое замечательное утверждение: если четырёхугольник ABCD
описан около окружности, то точка пересечения отрезков, соединяющих противоположные точки касания, совпадает с точкой пересечения диагоналей.
Действительно, возьмём в качестве X
центр вписанной окружности четырёхугольника, а в качестве \omega_{1}
— окружность, с центром в точке A
, проходящую через точки касания AB
и AD
с вписанной окружностью четырёхугольника. Аналогично, \omega_{2}
— окружность с центром в точке C
. Применяя утверждение задачи к получившейся конфигурации, видим, что точка пересечения прямых, соединяющих противоположные точки касания сторон четырёхугольника с вписанной окружностью, лежит на AC
. Аналогично, она лежит на BD
.