6208. В неравнобедренном треугольнике ABC
проведены медианы AK
и BL
. Углы BAK
и CBL
равны 30^{\circ}
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. \angle ABC=120^{\circ}
, \angle BAC=\arccos\frac{2}{\sqrt{7}}
, \angle ACB=\arccos\frac{5}{2\sqrt{7}}
.
Решение. Пусть прямая AB
пересекается с прямой, проходящей через точку K
перпендикулярно медиане AK
, в точке P
. На продолжении отрезка PK
за точку K
отложим отрезок KQ=PK
. Из прямоугольного треугольника APK
находим, что \angle APK=60^{\circ}
. В треугольнике APQ
высота AK
является медианой, значит, этот треугольник — равнобедренный, а так как один из его углов равен 60^{\circ}
, то треугольник APQ
— равносторонний.
Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда \frac{AM}{MK}=\frac{2}{1}
. Таким образом, точка M
, лежащая на медиане треугольника APQ
, делит её в отношении 2:1
, считая от вершины. Значит, M
— точка пересечения медиан треугольника APQ
, т. е.центр этого правильного треугольника.
Тогда \angle KPM=30^{\circ}=\angle KBM
, поэтому точки M
, K
, P
и B
лежат на одной окружности, причём PM
— диаметр этой окружности, так как \angle PKM=90^{\circ}
. Но тогда и \angle PBM=90^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=\angle ABM+\angle MBK=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}.
Кроме того, так как B
и K
— середины отрезков AP
и BC
, то треугольник BPK
— также равносторонний.
Пусть сторона треугольника APQ
равна 2a
. Тогда
AB=\frac{1}{2}AP=a,~BK=a,~BC=2BK=2a.
По теореме косинусов находим, что
AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos120^{\circ}}=\sqrt{a^{2}+4a^{2}+2a^{2}}=a\sqrt{7}.
Следовательно,
\cos\angle ACB=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2AC\cdot BC}=\frac{5}{2\sqrt{7}},
\cos\angle CAB=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{2}{\sqrt{7}}.