6212. В треугольнике ABC
сторона AC
наименьшая. На сторонах AB
и CB
взяты точки K
и L
соответственно, причём KA=AC=CL
. Пусть M
— точка пересечения AL
и KC
, а I
— центр вписанной в треугольник ABC
окружности. Докажите, что прямая MI
перпендикулярна прямой AC
.
Решение. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис, поэтому AI
и CI
— биссектрисы углов BAC
и BCA
.
Пусть прямые AI
и CK
пересекаются в точке X
, а прямые CI
и AL
— в точке Y
. Поскольку треугольник KAC
— равнобедренный (AC=AK
по условию задачи), то его биссектриса AX
является высотой. Значит, AX
— высота треугольника AMC
. Аналогично, CY
— также высота этого треугольника.
Поскольку эти высоты пересекаются в точке I
, то I
— точка пересечения высот треугольника AMC
, а так как три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке, то MI
лежит на третьей высоте. Следовательно, MI\perp AC
.
Автор: Макаров М. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2004, LXVII, 8 класс
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 3, с. 60