6214. Верно ли, что любые два прямоугольника равной площади можно расположить на плоскости так, что любая горизонтальная прямая, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причём по отрезку той же длины?
Ответ. Верно.
Решение. Пусть даны два прямоугольника равной площади: A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
со сторонами a_{1}
и b_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}
со сторонами a_{2}
и b_{2}
. Без ограничения общности будем считать, что a_{1}\lt b_{2}
и a_{2}\lt b_{1}
(если a_{1}=b_{2}
, то в силу равенства площадей и a_{2}=b_{1}
, в этом случае утверждение очевидно); случай a_{1}\lt b_{2}
, b_{1}\lt a_{2}
невозможен, так как a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}
.
Расположим прямоугольники так, как показано на рисунке. Это расположение удовлетворяет условию задачи. Докажем это. Заметим сначала, что A_{1}A_{2}\parallel C_{1}C_{2}
. Действительно, из подобия треугольников получаем, что
\frac{h_{1}}{h}=\frac{b_{1}-a_{2}}{a_{2}},~\frac{h_{2}}{h}=\frac{b_{2}-a_{1}}{a_{1}},
а так как a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}
, то
\frac{b_{2}-a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{2}-a_{1}}{a_{1}},
следовательно, h_{1}=h_{2}
и A_{1}A_{2}\parallel C_{1}C_{2}
. Из этого вытекает, что четырёхугольники A_{1}E_{1}C_{1}C_{2}
и A_{2}E_{2}C_{2}C_{1}
— параллелограммы (значит, A_{1}E_{1}=A_{2}E_{2}
), и площади их равны. Тогда, в силу равенства площадей прямоугольников, равны и площади треугольников A_{1}B_{1}E_{1}
и A_{2}B_{2}E_{2}
, а так как A_{1}E_{1}=A_{2}E_{2}
, то равны их высоты. Поэтому B_{1}B_{2}\parallel A_{1}A_{2}=a_{1}
, и B_{1}E_{1}A_{2}B_{2}
— параллелограмм. Следовательно, B_{1}E_{1}=B_{2}A_{2}
, и треугольники A_{1}B_{1}E_{1}
и E_{2}B_{2}A_{2}
равны по катету и гипотенузе. Из этого следует, что любая горизонтальная прямая, пересекающая эти треугольники, пересекает их по равным отрезкам.
Если же горизонтальная прямая пересекает параллелограммы A_{1}E_{1}C_{1}C_{2}
и A_{2}E_{2}C_{2}C_{1}
или совпадающие треугольники C_{1}D_{2}C_{2}
и C_{1}D_{1}C_{2}
, то равенство соответствующих отрезков очевидно.
Примечание. Аналогичное утверждение для других равновеликих фигур, вообще говоря, неверно. Примером могут служить круг и квадрат равной площади.
Автор: Терёшин Д. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1992-1993, XIX, заключительный этап, 10 класс