6215. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. На перпендикулярах, опущенных из M
на стороны BC
, AC
и AB
, взяты точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно, причём A_{1}B_{1}\perp MC
и A_{1}C_{1}\perp MB
. Докажите, что точка M
является точкой пересечения медиан и в треугольнике A_{1}B_{1}C_{1}
.
Решение. Обозначим
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a},~\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{b},~\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c},~\overrightarrow{MA_{1}}=\overrightarrow{x},~\overrightarrow{MB_{1}}=\overrightarrow{y},~\overrightarrow{MC_{1}}=\overrightarrow{z}.
Пусть A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— середины сторон BC
, AC
и AB
соответственно. Тогда
\overrightarrow{CM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CC_{2}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}),~\overrightarrow{B_{1}A_{1}}=\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y},
\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BB_{2}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}),~\overrightarrow{C_{1}A_{1}}=\overrightarrow{x}-\overrightarrow{z}.
По условию задачи следующие скалярные произведения равны 0
:
\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{a}=\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{b}=0,
(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{B_{1}A_{1}}\cdot3\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{B_{1}A_{1}}\cdot\overrightarrow{CM}=0,
(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{z})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=\overrightarrow{C_{1}A_{1}}\cdot3\overrightarrow{BM}=3\overrightarrow{C_{1}A_{1}}\cdot\overrightarrow{BM}=0~\Rightarrow
\Rightarrow~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{y}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{z}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{x}=0.
Поскольку \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}
и \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}
, то
0=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{y}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{x}=(-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\cdot\overrightarrow{y}+(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot\overrightarrow{x}=-\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{y}-\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{x}.
Аналогично,
0=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{z}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{x}=(-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\cdot\overrightarrow{z}+(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{x}=-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{z}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{x}.
Докажем, что \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}=\overrightarrow{0}
(отсюда будет следовать, что M
— точка пересечения медиан треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
).
Действительно,
\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{x}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{z}=0,
\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})=\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{x}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{y}=0,
а так как векторы \overrightarrow{b}
и \overrightarrow{c}
неколлинеарны, то \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}=0
Автор: Заславский А. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2003, LXVI, 10 класс
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 4, с. 58