6217. Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на рисунке одного радиуса, треугольник — равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника — диаметр окружности). Какой из головастиков имеет большую площадь?
Ответ. Площади равны.
Решение. Первый способ. Наложим одного головастика на другого (рис. 1). Нетрудно проверить, что если отрезать от первого головастика заштрихованные сегменты и повернуть их вокруг точек A_{1}
и B_{1}
на 180^{\circ}
, то получится второй головастик. Значит, головастики имеют одинаковую площадь.
Второй способ. Пусть площадь круга равна S
, а площадь равностороннего треугольника со стороной, равной диаметру окружности, равна T
. Углы равностороннего треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
равны 60^{\circ}
(рис. 2); кроме того, его стороны равны диаметрам исходной окружности. Значит, его площадь также равна T
.
Площадь каждого из заштрихованных секторов равна шестой части площади круга, т. е. \frac{S}{6}
, а площадь закрашенной части равна
T-3\cdot\frac{S}{6}=T-\frac{S}{2}.
Поэтому площадь второго головастика равна
S+T-\frac{S}{2}=T+\frac{S}{2},
т. е. равна площади первого головастика.
