6218. В треугольниках ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
проведены биссектрисы CD
и C_{1}D_{1}
соответственно. Известно, что AB=A_{1}B_{1}
, CD=C_{1}D_{1}
и \angle ADC=\angle A_{1}D_{1}C_{1}
. Докажите, что треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
равны.
Решение. Расположим данные треугольники так, чтобы точка A_{1}
совпала с точкой A
, точка B_{1}
— с точкой B
, а точки C_{1}
и C
лежали в одной полуплоскости относительно прямой AB
.
Предположим, что треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
не равны. Тогда их вершины C
и C_{1}
различны. Если точка C
не лежит на прямой CD
, то из равенства углов ADC
и AD_{1}C_{1}
следует параллельность прямых CD
и C_{1}D_{1}
.
Пусть точки A
и C_{1}
лежат по разные стороны от прямой CD
. Тогда точки C
и B
лежат по разные стороны от прямой C_{1}D_{1}
. При этом отрезок AC_{1}
пересекает прямую CD
в некоторой точке E
, а отрезок BC
пересекает прямую BC
в некоторой точке E_{1}
.
Обозначим
\angle ACD=\angle BCD=\alpha,~\angle AC_{1}D_{1}=\angle BC_{1}D_{1}=\beta.
Применяя теорему о внешнем угле треугольника к треугольникам ACE
и BC_{1}E_{1}
получим, что \alpha\lt\beta
и \beta\lt\alpha
, что невозможно. Значит, прямые CD
и C_{1}D_{1}
совпадают. Поскольку CD=C_{1}D_{1}
, точки C
и C_{1}
также совпадают. Следовательно, треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
равны.