6220. В окружность вписан равносторонний треугольник ABC
. На дуге AB
, не содержащей точки C
, выбрана точка M
, отличная от A
и B
. Пусть прямые AC
и BM
пересекаются в точке K
, а прямые BC
и AM
— в точке N
. Докажите, что произведение отрезков AK
и BN
не зависит от выбора точки M
.
Решение. Докажем, что треугольники ABK
и BNA
подобны. Действительно,
\angle BAK=\angle NBA=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
Поскольку четырёхугольник AMBC
— вписанный, то
\angle AMK=180^{\circ}-\angle AMB=\angle ACB=60^{\circ},
а так как CAM
— внешний угол треугольника AKM
, то
\angle AKB=\angle CAM-\angle AMK=\angle CAM-60^{\circ}.
С другой стороны,
\angle BAN=\angle CAM-\angle BAC=\angle CAM-60^{\circ}=\angle AKB.
Значит, треугольники ABK
и BNA
подобны по двум углам.
Следовательно,
\frac{AK}{AB}=\frac{AB}{BN}~\Rightarrow~AK\cdot BN=AB^{2}=\mbox{const},
что и требовалось доказать.