6221. Окружности S_{1}
и S_{2}
пересекаются в точках A
и B
, причём касательные к S_{1}
в этих точках являются радиусами S_{2}
. На внутренней дуге S_{1}
взята точка C
и соединена с точками A
и B
прямыми. Докажите, что вторые точки пересечения этих прямых с S_{2}
являются концами одного диаметра.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей S_{1}
и S_{2}
соответственно, E
и F
— точки пересечения лучей соответственно AC
и BC
с окружностью S_{2}
, а \angle AO_{1}B=2\alpha
. Тогда
\smile ACB=2\alpha,~\angle ACB=\frac{1}{2}(360^{\circ}-2\alpha)=180^{\circ}-\alpha,
\angle AO_{2}B=180^{\circ}-\angle AO_{1}B=180^{\circ}-2\alpha,~\angle AFB=\frac{1}{2}\angle AO_{2}B=90^{\circ}-\alpha,
а так как O_{1}A\perp O_{2}A
и O_{1}B\perp O_{2}B
, то
\angle ACF=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)=\alpha.
Значит,
\angle EAF=\angle CAF=180^{\circ}-\angle ACF-\angle AFB=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}.
Следовательно, EF
— диаметр окружности S_{2}
.