6222. Внутри острого угла XAY
взята точка D
, а на его сторонах AX
и AY
— точки B
и C
соответственно, причём \angle ABC=\angle XBD
и \angle ACB=\angle YCD
. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника ABC
, лежит на отрезке AD
.
Решение. Пусть K
— точка на продолжении отрезка DB
за точку B
. Тогда
\angle ABK=\angle XBD=\angle ABC.
Значит, BA
— биссектриса внешнего угла при вершине B
треугольника BCD
. Аналогично, CD
— биссектриса внешнего угла при вершине C
этого треугольника. Поскольку биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего углов треугольника пересекаются в одной точке, то DA
— биссектриса угла BDC
.
Пусть перпендикуляр, восставленный из точки B
к прямой AB
пересекается с AD
в точке Q
. Тогда
\angle CBQ=90^{\circ}-\angle ABC=90^{\circ}-\angle XBD=\angle DBQ.
Значит, BQ
— биссектриса угла CBD
, а так как биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то CQ
— биссектриса угла BCD
. Поэтому
\angle ACQ=\angle ACB+\angle BCQ=\angle YCD+\angle DCQ=\angle YCQ.
Следовательно, \angle ACQ=90^{\circ}
.
Из точек B
и C
отрезок AQ
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AQ
, лежащим на отрезке AD
, а так как эта окружность описана около треугольника ABC
, то отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Московская областная математическая олимпиада. — 1994-95, 10 класс.