6224. Дан правильный треугольник ABC
. На продолжении стороны AC
за точку C
взята точка D
, а на продолжении стороны BC
за точку C
— точка E
, причём BD=DE
. Докажите, что AD=CE
.
Решение. Положим AC=a
, CD=2x
. Пусть DK
— высота равнобедренного треугольника BDE
. Тогда KB=KE
. В прямоугольном треугольнике DKC
отрезок CK
— катет, лежащий против угла в 30^{\circ}
. Значит,
CK=\frac{1}{2}CD=x.
Следовательно,
CE=CK+KE=CK+KB=CK+(CK+BC)=x+(x+a)=a+2x=AD,
что и требовалось доказать.
Автор: Купцов Л. П.
Источник: Московская областная математическая олимпиада. — 1995-96, 8 класс.