6226. Дан треугольник ABC
, в котором AB=BC
, AB\ne AC
. На стороне AB
выбрана точка E
, на продолжении стороны AC
за точку A
выбрана точка D
, причём \angle BDC=\angle ECA
. Докажите, что площади треугольников DEC
и ABC
равны.
Указание. Треугольники BDC
и ECA
подобны.
Решение. Поскольку \angle BDC=\angle ACE
и \angle DCB=\angle BAC
, то треугольники BDC
и ECA
подобны по двум углам. Если BB_{1}
и EE_{1}
— высоты этих треугольников, то
\frac{BB_{1}}{EE_{1}}=\frac{DC}{AC}~\Rightarrow~AC\cdot BB_{1}=DC\cdot EE_{1}.
Следовательно,
S_{\triangle DEC}=\frac{1}{2}DC\cdot EE_{1}=\frac{1}{2}AC\cdot BB_{1}=S_{\triangle ABC}.
Что и требовалось доказать.