6228. Докажите, что хотя бы одна из сторон выпуклого четырёхугольника с диагоналями a
и b
не превосходит \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{4}}
.
Решение. Первый способ. Пусть ABCD
— данный четырёхугольник, O
— точка пересечения его диагоналей AC
и BD
, AC=b\geqslant a=BD
. Не уменьшая общности, будем считать, что \angle AOB\leqslant90^{\circ}
(рис. 1).
Если OA\leqslant\frac{b}{2}
и OB\leqslant\frac{a}{2}
или OC\leqslant\frac{b}{2}
и OD\leqslant\frac{a}{2}
, то AB\leqslant\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}\leqslant\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}
или CD\leqslant\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}
и всё доказано.
Поэтому предположим, что OB\leqslant\frac{a}{2}
, а OA\geqslant\frac{b}{2}
. Тогда угол BAO
острый, так как в треугольнике ABO
против угла BAO
лежит лежит меньшая сторона: OB\leqslant\frac{a}{2}\leqslant\frac{b}{2}\leqslant OA
. Следовательно, основание высоты BH
треугольника ABO
будет лежать на стороне AO
. Но тогда AH\leqslant\frac{b}{2}
или HC\leqslant\frac{b}{2}
. Если AH\leqslant\frac{b}{2}
, то
AB=\sqrt{AH^{2}+BH^{2}}\leqslant\sqrt{\frac{b^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2},
так как BH\leqslant BO\leqslant\frac{a}{2}
. Для CH\leqslant\frac{b}{2}
аналогично. Утверждение доказано.
Второй способ. Пусть ABCD
— данный четырёхугольник, O
— точка пересечения его диагоналей AC
и BD
, AC=b
, BD=a
.
Предположим, что все стороны четырёхугольника ABCD
больше p=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{4}}
. Тогда точки B
и D
лежат вне окружностей радиуса R=p
с центрами в точках A
и C
(рис. 2).
Эти окружности пересекаются. Действительно, если это не так, то
2p=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\leqslant b,
что невозможно, так как гипотенуза больше катета.
Пусть E
и F
— точки пересечения этих окружностей, M
— точка пересечения AC
и EF
. Тогда
EF=2EM=2\sqrt{p^{2}-\frac{b^{2}}{4}}=a.
Покажем, что BD\gt EF
. Действительно, при AO\leqslant AM
окружность с центром A
высекает на BD
хорду KL
, длина которой не меньше EF
, а при AO\gt AM
— хорду, меньшую EF
высекает на BD
окружность с центром C
. Мы пришли к противоречию, так как BD=a=EF
. Следовательно, хотя бы одна сторона четырёхугольника не больше p
.
Примечание. Для невыпуклого четырёхугольника утверждение неверно (рис. 3).
Автор: Дольников В. Л.
Источник: Московская областная математическая олимпиада. — 1995-96, 11 класс.