6229. Медианой пятиугольника ABCDE
назовём отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (A
— с серединой CD
, B
— с серединой DE
и т. д.). Докажите, что если четыре медианы выпуклого пятиугольника перпендикулярны сторонам, к которым они проведены, то таким же свойством обладает и пятая медиана.
Решение. Заметим, что медиана пятиугольника перпендикулярна противолежащей стороне тогда и только тогда, когда диагонали, проведённые из этой вершины, равны. Поэтому, если медианы, проведённые из вершин A
, B
, C
и D
перпендикулярны противолежащим сторонам, то
AC=AD,~BE=BD,~CA=CE,~DB=DA.
Значит, CE=BE
. Следовательно, медиана, проведённая из вершины E
, также перпендикулярна противолежащей стороне.