6231. В выпуклом четырёхугольнике, описанном около окружности, произведения противоположных сторон равны. Угол между стороной и одной из диагоналей равен 20^{\circ}
. Найдите угол между этой стороной и другой диагональю.
Ответ. 70^{\circ}
.
Решение. Пусть ABCD
— данный четырёхугольник, \angle BAC=20^{\circ}
. Обозначим AB=a
, BC=b
, CD=c
, AD=d
. Из условия задачи следует, что ac=bd
и a+c=b+d
(свойство описанного четырёхугольника). Тогда по теореме, обратной теореме Виета, либо a=b
и c=d
, либо a=d
и c=b
.
Предположим, что a=b
и c=d
, т. е. AB=BC
и CD=AD
. Тогда точки B
и D
равноудалены от концов отрезка AC
. Значит, BD
— серединный перпендикуляр к диагонали AC
. Следовательно,
\angle ABD=90^{\circ}-\angle BAC=90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}.
Аналогично для случая a=d
и c=b
.