6232. В треугольнике ABC
на сторонах AB
, BC
и AC
соответственно точки K
, L
и M
, причём \angle BLK=\angle CLM=\angle BAC
. Отрезки BM
и CK
пересекаются в точке P
. Докажите, что четырёхугольник AKPM
— вписанный.
Решение. Поскольку
\angle CLK=180^{\circ}-\angle BLK=\angle BAC,
четырёхугольник AKLC
— вписанный. Аналогично, четырёхугольник AMLB
— также вписанный. Вписанные углы CKL
и CAL
окружности, описанной около четырёхугольника AKLC
, опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle CKL=\angle CAL
.
Вписанные углы MBL
и MAL
окружности, описанной около четырёхугольника AMLB
, также опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle MBL=\angle MAL=\angle CAL
.
Тогда отрезок PL
виден из точек B
и K
, лежащих по одну сторону от прямой PL
, под одним и тем же углом. Значит, четырёхугольник BKPL
— также вписанный. Поэтому
\angle BPK=\angle BLK=\angle BAC=\angle KAM.
Следовательно, четырёхугольник AKPM
— вписанный.
Автор: Иванов С. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2004 г., первый тур, 10 класс