6235. Дан остроугольный треугольник ABC
; B_{1}
и C_{1}
— основания высот, опущенных из вершин B
и C
соответственно. Точка D
— основание перпендикуляра, опущенного из точки B_{1}
на AB
; E
— точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки D
на сторону BC
, с отрезком BB_{1}
. Докажите, что прямая EC_{1}
параллельна стороне AC
.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Тогда
\angle AHB_{1}=\angle ACB,~\angle DEB_{1}=\angle AHB_{1}.
Из точек B_{1}
и C_{1}
отрезок AH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AH
. По теореме о вписанных углах
\angle AC_{1}B_{1}=\angle AHB_{1}.
Таким образом, из точек C_{1}
и E
, лежащих по одну сторону от прямой DB_{1}
, отрезок DB_{1}
виден под одним и тем же углом. Значит, точки D
, C_{1}
, E
и B_{1}
лежат на одной окружности, а так как \angle B_{1}DC_{1}=90^{\circ}
, то B_{1}C_{1}
— диаметр этой окружности. Поэтому EC_{1}\perp BB_{1}
. Следовательно, EC_{1}\parallel AC
.