6236. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
на сторонах AB
и BC
нашлись такие точки K
и L
соответственно, что \angle ADK=\angle CDL
. Отрезки AL
и CK
пересекаются в точке P
. Докажите, что \angle ADP=\angle BDC
.
Решение. Будем обозначать через d(X,l)
расстояние от точки X
до прямой l
. Пусть B'
— точка, симметричная вершине B
относительно биссектрисы угла KDL
и ADC
. Достаточно доказать, что точки D
, P
и B'
лежат на одной прямой (тогда \angle ADP=\angle ADB'=\angle BDC
), что равносильно равенству
\frac{d(P,DK)}{d(P,DL)}=\frac{d(B',DK)}{d(B',DL)},~\mbox{или}~\frac{d(P,DK)}{d(P,DL)}=\frac{d(B,DL)}{d(B,DK)}.
Пусть E
и F
проекции точек соответственно P
и C
на прямую KD
. Из подобия прямоугольных треугольников KPE
и KCD
следует, что
\frac{d(P,DK)}{d(C,DK)}=\frac{PE}{CF}=\frac{KP}{KC}=\frac{S_{\triangle KPL}}{S_{\triangle KCL}}.\eqno(1)
Аналогично,
\frac{d(P,DL)}{d(A,DL)}=\frac{S_{\triangle KPL}}{S_{\triangle AKL}},\eqno(2)
а так как \frac{d(C,DK)}{d(A,DL)}=\frac{CD}{AD}
(из условия задачи следует, что равны углы, смежные с равными углами ADK
и CDL
), то, разделив почленно равенство (1) на равенство (2), получим, что
\frac{d(P,DK)}{d(P,DL)}=\frac{d(C,DK)}{d(A,DL)}\cdot\frac{S_{\triangle AKL}}{S_{\triangle CKL}}=\frac{CD}{AD}\cdot\frac{S_{\triangle AKL}}{S_{\triangle CKL}}.
Аналогично, из равенств
\frac{d(B,DL)}{d(C,DL)}=\frac{S_{\triangle BKL}}{S_{\triangle KCL}},~\frac{d(B,DK)}{d(A,DK)}=\frac{S_{\triangle BKL}}{S_{\triangle AKL}},
получим, что
\frac{d(B,DL)}{d(B,DK)}=\frac{CD}{AD}\cdot\frac{S_{\triangle AKL}}{S_{\triangle CKL}}.
Значит,
\frac{d(P,DK)}{d(P,DL)}=\frac{d(B,DL)}{d(B,DK)}.
Отсюда следует решение задачи.