6237. Точки K
и L
лежат на сторонах соответственно AB
и AC
треугольника ABC
, причём KB=LC
. Точка X
симметрична точке K
относительно середины стороны AC
, а точка Y
симметрична точке L
относительно середины стороны AB
. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла A
, делит отрезок XY
пополам.
Решение. На стороне AC
отложим отрезок AL_{1}
, равный LC
, а на стороне AB
— отрезок AK_{1}
, равный KB
. Тогда середина M
стороны AC
совпадает с серединой отрезка LL_{1}
, а середина N
стороны AB
— с серединой отрезка KK_{1}
.
Поскольку точки K
и X
симметричны относительно точки M
— середины отрезка LL_{1}
, четырёхугольник KLXL_{1}
— параллелограмм, поэтому XL_{1}=KL
и XL_{1}\parallel KL
. Аналогично докажем, что YK_{1}=KL
и YK_{1}\parallel KL
. Таким образом, XL_{1}=YK_{1}
и XL_{1}\parallel YK_{1}
. Значит, если точки X
, L_{1}
, K_{1}
и Y
не лежат на одной прямой, то четырёхугольник XL_{1}YK_{1}
— также параллелограмм. Его диагонали L_{1}K_{1}
и XY
делятся их точкой пересечения P
пополам, а так как треугольник L_{1}AK_{1}
— равнобедренный, то его биссектриса, проведённая из вершины A
, проходит через точку P
— середину отрезка XY
.
Если точки X
, L_{1}
, K_{1}
и Y
лежат на одной прямой, утверждение очевидно.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2004 г., второй тур, 10 класс