6239. На сторонах AC
и BC
треугольника ABC
отметили точки P
и Q
соответственно. Оказалось, что AB=AP=BQ=1
, а точка пересечения отрезков AQ
и BP
лежит на вписанной окружности треугольника ABC
. Найдите периметр треугольника ABC
.
Ответ. 4.
Решение. Пусть вписанная окружность \omega
треугольника ABC
касается его сторон AB
, BC
и AC
в точках S
, R
и T
; M
— точка пересечения отрезков AQ
и BP
. Можно заметить, что точка P
лежит на отрезке CT
, а точка Q
— на отрезке CR
. Тогда отрезки AM
и BM
вторично пересекают окружность \omega
. Обозначим точки пересечения через K
и L
соответственно.
Если I
— центр окружности \omega
, то BI
— биссектриса угла ABC
. При симметрии относительно прямой BI
точка S
перейдёт в R
, точка A
— в Q
(так как BQ=BA
), а окружность \omega
— в себя. Поэтому дуги KS
и MR
равны. Аналогично докажем, что равны дуги SL
и MT
. Поскольку BI\perp AM
и AI\perp BM
, I
— ортоцентр треугольника ABM
. Поэтому MI\perp AB
, и MS
— диаметр окружности \omega
. Значит, равны дуги KT
и RL
. Следовательно, дуга KTMR
равна 180^{\circ}
, а значит, KR
— диаметр окружности \omega
.
При гомотетии с центром A
, переводящей окружность \omega
во вневписанную окружность \omega'
треугольника ABC
, касательная l
в точке K
к окружности \omega
перейдёт в параллельную ей касательную к окружности \omega'
, т. е. в прямую BC
, а луч AK
— в себя. Поэтому Q
— точка касания окружности \omega'
со стороной BC
.
Тогда, если p
— полупериметр треугольника ABC
, то
1=BQ=p-AB=p-1.
Отсюда находим, что p=2
. Следовательно, периметр треугольника ABC
равен 4.
Автор: Карпов Д. В.
Автор: Кохась К. П.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2004 г., второй тур, 11 класс