6241. На меньшей дуге AC
описанной окружности остроугольного треугольника ABC
выбрана точка D
. На стороне AC
нашлась такая точка E
, что DE=AE
. На прямой, параллельной AB
, проходящей через точку E
, отмечена точка F
, причём CF=BF
. Докажите, что точки D
, E
, C
и F
лежат на одной окружности
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть прямая EF
пересекает сторону BC
в точке K
, O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, M
— середина стороны BC
.
Поскольку CF=BF
, точки O
, F
и M
лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC
, а так как EK\parallel AB
, то
\angle EKC=\angle ABC=\beta.
Тогда
\angle OFE=\angle KFM=90^{\circ}-\beta.
С другой стороны, центральный угол AOC
вдвое больше вписанного угла ABC
, поэтому
\angle OCE=\angle OCA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\beta)=90^{\circ}-\beta=\angle OFE.
Таким образом, из точек F
и C
, лежащих по одну сторону от прямой OE
, отрезок OE
виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки E
, O
, F
и C
лежат на одной окружности. Обозначим её S_{1}
.
Пусть \angle CED=\varphi
. Поскольку CED
— внешний угол равнобедренного треугольника AED
, \angle CAD=\frac{\varphi}{2}
. Тогда центральный угол COD
вдвое больше вписанного угла CAD
, т. е.
\angle COD=2\angle CAD=\varphi.
Таким образом, из точек E
и O
, лежащих по одну сторону от прямой CD
, отрезок CD
виден под одним и тем же углом. Значит, точки C
, D
, E
и O
лежат на одной окружности. Обозначим её S_{2}
.
Осталось заметить, что окружности S_{1}
и S_{2}
совпадают, так как каждая из них проходит через три точки E
, O
и C
, не лежащие на одной прямой.
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Примечание. Если воспользоваться направленными углами, то можно обойтись без отдельного рассмотрения всех возможных случаев.
Автор: Смирнов А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2004 г., отборочный тур, 9 класс