6242. Точки K
и L
— середины диагоналей соответственно AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
. Прямая KL
пересекает стороны AD
и BC
в точках X
и Y
соответственно. Описанная окружность треугольника AKX
пересекает сторону AB
в точке M
. Докажите, что описанная окружность треугольника BLY
тоже проходит через точку M
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть E
— середина стороны AB
. Поскольку LE
— средняя линия треугольника ABD
,
\angle MAX=\angle BAD=\angle BEL,
а так как AMKX
— вписанный четырёхугольник, то
\angle MKL=\angle MKY=180^{\circ}-\angle XKM=\angle MAX=\angle BEL=\angle MEL.
Таким образом, из точек K
и E
, расположенных по одну сторону от прямой LM
, отрезок ML
виден под одним и тем же углом. Значит, точки K
, E
, M
и L
лежат на одной окружности. Тогда
\angle AEK=180^{\circ}-\angle MEK=\angle KLM,
а так как KE
— средняя линия треугольника ABC
, то
\angle AEK=\angle ABC=\angle MBY.
Значит,
\angle XLM=\angle YBM.
Следовательно, точки B
, Y
, L
и M
лежат на одной окружности, т. е. описанная окружность треугольника BLY
проходит через точку M
.
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Примечание. Если воспользоваться направленными углами, то можно обойтись без отдельного рассмотрения всех возможных случаев.