6243. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
точки P
и Q
— середины диагоналей AC
и BD
соответственно. Прямая PQ
пересекает стороны AB
и CD
в точках N
и M
соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ANP
, BNQ
, CMP
и DMQ
пересекаются в одной точке.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение: если четыре прямые образуют четыре треугольника, то описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля).
Рассмотрим случай, изображённый на рис. 1. Обозначим
\angle YXZ=\alpha,~\angle XYZ=\beta,~\angle YZX=\gamma.
Пусть описанные окружности треугольников XUV
и ZTU
пересекаются в точке W
. Тогда
\angle TWV=\angle UWV+\angle UWT=\angle UXV+\angle UZY=\alpha+\gamma=180^{\circ}-\beta=180^{\circ}-\angle VYT.
Следовательно, четырёхугольник YVWT
— вписанный, т. е. описанная окружность треугольника YVT
тоже проходит через точку W
. Аналогично, описанная окружность треугольника XYZ
проходит через точку W
.
Аналогично рассматриваются остальные возможные случаи. Если воспользоваться направленными углами, то можно обойтись без отдельного рассмотрения всех возможных случаев.
Перейдём сейчас к нашей задаче (рис. 2). Пусть K
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Заметим, что точка пересечения описанных окружностей треугольников ANP
и BNQ
, отличная от N
, есть точка Микеля четырёх прямых AB
, AC
, BD
и MN
. Поэтому описанные окружности треугольников ABK
и PKQ
также проходят через эту точку.
Аналогично, точка пересечения описанных окружностей треугольников CMP
и DMQ
совпадает с точкой пересечения описанных окружностей треугольников CDK
и PKQ
, отличной от K
. Осталось доказать, что описанные окружности треугольников ABK
, CDK
и PKQ
имеют общую точку, отличную от K
.
Обозначим через O_{1}
, O_{2}
и O
центры этих трёх окружностей соответственно (рис. 3). Действительно, проекция точки O
на прямую AC
есть середина отрезка KP
, а значит, и середина проекции отрезка O_{1}O_{2}
, так как при гомотетии с центром K
и коэффициентом 2 проекции точек O_{1}
, O
и O_{2}
перейдут соответственно в точки A
, P
и C
, а по условию задачи P
— середина отрезка AC
.
Аналогично можно рассмотреть проекции точек O_{1}
, O
и O_{2}
на прямую BD
, откуда и следует, что точка O
— середина отрезка O_{1}O_{2}
.
Таким образом, описанные окружности треугольников ABK
, CDK
и PKQ
проходят через точку, симметричную точке K
относительно прямой O_{1}O_{2}
(рис. 3). Тогда через эту точку проходят и все четыре указанные в условии окружности.
Автор: Смирнов А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2004 г., отборочный тур, 11 класс