6244. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle B=\angle D
, а центр описанной окружности треугольника ABC
, ортоцентр треугольника ADC
и вершина B
лежат на одной прямой. Докажите, что ABCD
— параллелограмм.
Решение. Предположим, что треугольник ADC
— остроугольный. Пусть H
— его ортоцентр, а O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Тогда
\angle AHC=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC.
Значит, точки A
, B
, C
и H
лежат на одной окружности, причём O
— центр этой окружности. Поскольку точки B
, O
и H
лежат на одной прямой, BH
— диаметр окружности. Поэтому AH\perp AB
, а так как AH\perp CD
, то AB\parallel CD
. Аналогично, BC\parallel AD
. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.
Аналогично для остальных случаев.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада ФМЛ № 239 (Санкт-Петербург). — 2004, 8-9 классы