6245. В остроугольном неравностороннем треугольнике через одну вершину проведена высота, через другую — медиана, через третью биссектриса. Докажите, что если проведённые линии, пересекаясь, образуют треугольник, то он не может быть равносторонним.
Решение. Пусть высота AH
треугольника ABC
пересекает медиану BM
в точке P
, биссектрису CL
— в точке R
, а биссектриса CL
и медиана BM
пересекаются в точке Q
. Допустим, что треугольник PQR
— равносторонний. Из прямоугольного треугольника RCH
находим, что
\angle RCH=90^{\circ}-\angle CRH=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Тогда
\angle ACB=2\angle RCH=60^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника PBH
находим, что
\angle PBH=90^{\circ}-\angle BPH=90^{\circ}-\angle RPQ=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Тогда
\angle BMC=180^{\circ}-\angle MBC-\angle BCM=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}.
Значит, BM
— высота и медиана треугольника ABC
. Поэтому треугольник ABC
— равнобедренный, а так как один из его углов (угол ACB
) равен 60^{\circ}
, то треугольник ABC
— равносторонний, что противоречит условию задачи.