6248. Две окружности касаются друг друга. В большую из них вписан равносторонний треугольник, из вершин которого проведены касательные к меньшей. Докажите, что длина одной из этих касательных равна сумме длин двух других.
Указание. Докажите, что если точка D
лежит на меньшей дуге BC
описанной окружности равностороннего треугольника ABC
, то AD=BD+CD
.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение: если точка D
лежит на меньшей дуге BC
описанной окружности равностороннего треугольника ABC
, то AD=BD+CD
.
Действительно, пусть D_{1}
— образ точки D
при повороте на 60^{\circ}
вокруг вершины B
, переводящем C
в A
(рис. 1). Тогда
\angle AD_{1}B+\angle BD_{1}D=\angle CDB+\angle BD_{1}D=120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}.
Поэтому точка D_{1}
лежит на отрезке AD
. Следовательно,
AD=AD_{1}+D_{1}D=BD+CD.
Что и требовалось доказать.
Перейдём к нашей задаче. Рассмотрим случай внешнего касания окружностей (рис. 1). Обозначим через R
и r
радиусы окружностей (R\gt r
). Пусть окружности касаются в точке D
. Для определённости будем считать, что точка D
лежит на меньшей дуге BC
окружности радиуса R
, описанной около равностороннего треугольника ABC
.
Пусть прямые, проходящие через вершины A
, B
и C
, касаются меньшей окружности в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Докажем, что AA_{1}=BB_{1}+CC_{1}
.
Если прямые AD
, BD
и AC
вторично пересекают меньшую окружность в точках A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
соответственно, то по теореме о касательной и секущей, а также из подобия соответствующих треугольников находим, что
AA_{1}^{2}=AA_{2}\cdot AD=\left(AD+\frac{r}{R}AD\right)AD=AD^{2}\left(1+\frac{r}{R}\right),
BB_{1}^{2}=BB_{2}\cdot BD=\left(BD+\frac{r}{R}BD\right)BD=BD^{2}\left(1+\frac{r}{R}\right),
CC_{1}^{2}=CC_{2}\cdot CD=\left(CD+\frac{r}{R}CD\right)CD=CD^{2}\left(1+\frac{r}{R}\right).
Следовательно,
BB_{1}+CC_{1}=BD\sqrt{1+\frac{r}{R}}+CD\sqrt{1+\frac{r}{R}}=(BD+CD)\sqrt{1+\frac{r}{R}}=
=AD\sqrt{1+\frac{r}{R}}=AA_{1}.
Что и требовалось доказать.
Если окружности касаются внутренним образом, то последнее равенство будет иметь вид
BB_{1}+CC_{1}=BD\sqrt{1-\frac{r}{R}}+CD\sqrt{1-\frac{r}{R}}=(BD+CD)\sqrt{1-\frac{r}{R}}=
=AD\sqrt{1-\frac{r}{R}}=AA_{1}.
Источник: Зарубежные математические олимпиады. — 1972, Австрия
Источник: Конягин С. В. и др. Зарубежные математические олимпиады / Под ред. И. Н. Сергеева. — М.: Наука, 1987. — с. 35, № 10.16, Австрия, 1972 г.