6249. Докажите, что вписанный четырёхугольник A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}
равен четырёхугольнику, вершины которого — ортоцентры H_{1}
, H_{2}
, H_{3}
, H_{4}
треугольников A_{2}A_{3}A_{4}
, A_{1}A_{3}A_{4}
, A_{1}A_{2}A_{4}
, A_{1}A_{2}A_{3}
.
Указание. Пусть H_{1}
— ортоцентр треугольника A_{2}A_{3}A_{4}
, а B
— точка описанной окружности четырёхугольника A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}
, диаметрально противоположная вершине A_{3}
. Докажите, что BA_{2}H_{1}A_{4}
и BA_{1}H_{2}A_{4}
— параллелограммы.
Решение. Пусть H_{1}
— ортоцентр треугольника A_{2}A_{3}A_{4}
, а B
— точка описанной окружности четырёхугольника A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}
, диаметрально противоположная вершине A_{3}
. Тогда A_{2}H_{1}\perp A_{3}A_{4}
и BA_{4}\perp A_{3}A_{4}
, поэтому A_{2}H_{1}\parallel BA_{4}
. Аналогично, A_{4}H_{1}\parallel BA_{2}
. Значит, четырёхугольник BA_{2}H_{1}A_{4}
— параллелограмм, и A_{2}H_{1}=BA_{4}
.
Если H_{2}
— ортоцентр треугольника A_{1}A_{3}A_{4}
, то аналогично докажем, что четырёхугольник BA_{1}H_{2}A_{4}
— параллелограмм, и A_{1}H_{2}=BA_{4}
. Таким образом A_{2}H_{1}=A_{1}H_{2}
и A_{2}H_{1}\parallel A_{1}H_{2}
. Значит, четырёхугольник A_{1}A_{2}H_{1}H_{2}
— также параллелограмм. Точка пересечения M
его диагоналей A_{1}H_{1}
и A_{2}H_{2}
— середина каждого из отрезков A_{1}H_{1}
и A_{2}H_{2}
, т. е. отрезок A_{2}H_{2}
проходит через середину M
отрезка A_{1}H_{1}
и делится точкой M
пополам.
Аналогично докажем, что отрезки A_{3}H_{3}
и A_{4}H_{4}
также проходят через точку M
и делятся ею пополам. Следовательно, четырёхугольники A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}
и H_{1}H_{2}H_{3}H_{4}
симметричны относительно точки M
, а значит, они равны.
Источник: Зарубежные математические олимпиады. — 1984, «Балканиада»
Источник: Конягин С. В. и др. Зарубежные математические олимпиады / Под ред. И. Н. Сергеева. — М.: Наука, 1987. — , с. 36, № 10.19, «Балканиада», 1984 г.