6250. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Серединные перпендикуляры к диагоналям BD
и AC
пересекают сторону AD
в точках X
и Y
соответственно, причём X
лежит между A
и Y
. Оказалось, что прямые BX
и CY
параллельны. Докажите, что прямые BD
и AC
перпендикулярны.
Решение. Точки X
и Y
лежат на серединных перпендикулярах к отрезкам BD
и AC
соответственно, поэтому треугольники BXD
и AYC
— равнобедренные. Пусть M
— точка пересечения указанных серединных перпендикуляров. Обозначим \angle BXM=\angle DXM=\alpha
. Тогда, поскольку BX\parallel CY
,
\angle CYD=\angle BXD=2\alpha,
а так как CYD
— внешний угол при вершине Y
равнобедренного треугольника AYC
, то
\angle CAY=\alpha=\angle MXY.
Значит, AC\parallel XM
, а так как YM\perp AC
, то YM\perp XM
. Следовательно, прямые BD
и AC
, соответственно перпендикулярные прямым XM
и YM
, также перпендикулярны.