6251. На стороне BC
треугольника ABC
отмечены такие точки M
и N
, что CM=MN=NB
. К стороне BC
в точке N
восставлен перпендикуляр, пересекающий сторону AB
в точке K
. Оказалось, что площадь треугольника AMK
в 4,5 раза меньше площади исходного треугольника. Докажите, что треугольник ABC
— равнобедренный.
Решение. Заметим, что точка K
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BM
, поэтому треугольник BKM
— равнобедренный. Обозначим через S
площадь треугольника ABC
. Тогда
S_{\triangle ABM}=\frac{2}{3}S,~S_{\triangle BKM}=S_{\triangle ABM}-S_{\triangle AKM}=\frac{2}{3}S-\frac{2}{9}S=\frac{4}{9}S,
\frac{AK}{KB}=\frac{S_{\triangle AKM}}{S_{\triangle BKM}}=\frac{\frac{2}{9}S}{\frac{4}{9}S}=\frac{1}{2},~\frac{AB}{BK}=\frac{3}{2}.
Если AH
— высота треугольника ABC
, то из подобия треугольников BKN
и BAH
находим, что
S_{\triangle BAH}=\left(\frac{AB}{BK}\right)^{2}\cdot S_{\triangle BKN}=\frac{9}{4}\cdot\left(\frac{2}{9}S\right)=\frac{1}{2}S.
Значит, H
— середина BC
, т. е. высота треугольника ABC
является его медианой. Следовательно, треугольник ABC
— равнобедренный.