6252. Серединные перпендикуляры к диагоналям BD
и AC
вписанного четырёхугольника ABCD
пересекают сторону AD
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что середина стороны BC
равноудалена от прямых BX
и CY
.
Решение. Поскольку точка X
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BD
, а точка Y
— на серединном перпендикуляре к отрезку AC
, то треугольники BDX
и ACY
— равнобедренные.
Обозначим
\angle CAY=\angle ACY=\alpha,~\angle BDX=\angle DBX=\beta.
Пусть прямые BX
и CY
пересекаются в точке P
. По условию задачи, четырёхугольник ABCD
вписан в окружность. Из теоремы о вписанных углах следует, что
\angle CBP=\angle CBX=\angle CBD+\angle DBX=\angle CAD+\angle DBX=\alpha+\beta,
\angle BCP=\angle BCY=\angle BCA+\angle ACY=\angle BDA+\angle ACY=\beta+\alpha.
Значит, треугольник BPC
— равнобедренный. Следовательно, середина его основания BC
равноудалена от прямых BX
и CY
, на которых лежат его боковые стороны.