6253. Касательная в точке A
к описанной окружности треугольника ABC
пересекает продолжение стороны BC
за точку B
в точке K
; L
— середина AC
, а точка M
на отрезке AB
такова, что \angle AKM=\angle CKL
. Докажите, что MA=MB
.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle KAB=\angle BCA=\angle KCA,
поэтому треугольники AKB
и CKA
подобны по двум углам (угол AKC
— общий). Поскольку \angle AKM=\angle CKL
, отрезки KL
и KM
— соответствующие элементы подобных треугольников, а так как KL
— медиана треугольника CKA
, то KM
— медиана треугольника AKB
. Следовательно, MA=MB
.