6255. В треугольнике ABC
угол A
равен 60^{\circ}
. На лучах BA
и CA
отложены отрезки BX
и CY
, равные стороне BC
. Докажите, что прямая XY
проходит через точку пересечения биссектрис треугольника ABC
.
Решение. Пусть I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. Тогда равнобедренный треугольник BCX
симметричен относительно прямой BI
, а равнобедренный треугольник BCY
симметричен относительно прямой CI
. Поэтому \angle BIC=\angle BIX
и \angle BIC=\angle YIC
. Значит,
\angle BIX=\angle BIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}
(см. задачу 4770),
\angle YIC=\angle BIC=120^{\circ},~
\angle CIX=360^{\circ}-\angle BIC-\angle BIX=360^{\circ}-120^{\circ}-120^{\circ}=120^{\circ}=\angle YIC.
Следовательно, точки I
, X
и Y
лежат на одной прямой, т. е. прямая XY
проходит через точку I
. Что и требовалось доказать.