6259. Дана окружность \omega
и точка P
вне её. Проходящая через точку P
прямая l
пересекает окружность в точках A
и B
. На отрезке AB
отмечена такая точка C
, что PA\cdot PB=PC^{2}
. Точки M
и N
— середины двух дуг, на которые хорда AB
разбивает окружность \omega
. Докажите, что величина угла MCN
не зависит от выбора прямой l
.
Решение. Будем считать, что точка A
лежит на отрезке PB
. Проведём из точки P
касательные PK
и PL
к окружности (K
и L
— точки касания). По теореме о касательной и секущей
PK^{2}=PL^{2}=PA\cdot PB=PC^{2}.
Значит, PK=PL=PC
, т. е. точки K
, L
и C
лежат на окружности с центром P
и радиусом PL
.
Пусть прямая KC
пересекает окружность \omega
в точке M'
. Обозначим \angle PKA=\alpha
, \angle PCK=\angle PKC=\beta
(углы при основании равнобедренного треугольника PKC
).
Из теоремы о касательной и секущей следует, что
\angle ABK=\angle AKP=\alpha.
Тогда
\angle AKM'=\angle AKC=\angle PKC-\angle AKP=\beta-\alpha.
С другой стороны, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BKM'=\angle BKC=\angle PCK-\angle KBC=\beta-\alpha.
Значит, точка M'
совпадает с серединой M
дуги AB
, не содержащей точки N
, т. е. прямая KC
проходит через точку M
. Аналогично докажем, что прямая LC
проходит через точку N
.
Таким образом,
\angle MCN=\angle KCL=\frac{1}{2}(360^{\circ}-\angle KPL),
а величина угла KPL
не зависит от выбора прямой l
. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Джукич Д.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2003 г., второй тур, 10 класс