6260. На биссектрисе угла A
треугольника ABC
внутри треугольника нашлась такая точка L
, для которой \angle LBC=\angle LCA=\angle LAB
. Докажите, что длины сторон треугольника образуют геометрическую прогрессию.
Решение. Первый способ. Обозначим
\angle LBC=\angle LCA=\angle LAB=\alpha.
Заметим, что \alpha\lt90^{\circ}
(так как 2\alpha\lt180^{\circ}
).
На продолжении отрезка AL
за точку L
отметим такую точку P
, что PC=CA
. Тогда
\angle ACP=180^{\circ}-2\alpha=180^{\circ}-\angle BAC=\angle ACB+\angle ABC\gt\angle ACB.
Значит, точки P
и A
лежат по разные стороны от прямой BC
. Кроме того,
\angle PCB=\angle ACP-\angle ACB=\angle ABC.
Поскольку \angle CPL=\angle CAL=\angle LBC
, точки B
, P
, L
и C
лежат на одной окружности. Поэтому
\angle CBP=\angle PLC=\angle LAC+\angle LCA=2\alpha=\angle BAC.
Значит, треугольники BPC
и ACB
подобны по двум углам. Следовательно,
\frac{CB}{AB}=\frac{CP}{BC}=\frac{AC}{CB},
т. е. длины сторон AB
, CB
и AC
образуют геометрическую прогрессию.
Второй способ. Обозначим
\angle LBC=\angle LCA=\angle LAB=\alpha,~\angle LCB=\beta.
Тогда \angle CLB=180^{\circ}-\alpha-\beta
. Применяя теорему синусов к треугольникам LBC
, LCA
и ABC
получим, что
\frac{BC}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{LC}{\sin\alpha}=\frac{AC}{\sin2\alpha},
\frac{AB}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{BC}{\sin2\alpha}.
Значит,
\frac{BC}{AC}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin2\alpha}=\frac{AB}{BC}.
Следовательно, длины сторон AB
, BC
и AC
образуют геометрическую прогрессию.