6262. Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. Удвойте этот отрезок с помощью одной линейки.
Решение. Пусть l_{1}
и l_{2}
— данные параллельные прямые, AB
— отрезок на прямой l_{1}
. Требуется с помощью одной линейки построить на этой прямой такую точку X
, для которой AX=2AB
.
Покажем, как с помощью одной линейки через данную точку провести прямую, параллельную двум данным параллельным прямым.
Пусть сначала точка M
и прямая l_{1}
лежат по разные стороны от прямой l_{2}
(рис. 1). Возьмём на прямой l_{1}
две точки A
и B
. Пусть A_{1}
и B_{1}
— точки пересечения MA
и MB
с прямой l_{2}
, P
— точка пересечения диагоналей AB_{1}
и BA_{1}
трапеции AA_{1}B_{1}B
, K
и Q
— точки пересечения прямой MP
с A_{1}B_{1}
и AB
соответственно. Если T
— точка пересечения прямых AK
и QB_{1}
, то прямая TM
— искомая.
Действительно, треугольник KTB_{1}
подобен треугольнику ATQ
, а треугольник A_{1}MK
— треугольнику AMQ
, причём коэффициент подобия один и тот же, так как A_{1}K=KB_{1}
. Следовательно,
\frac{TB_{1}}{TQ}=\frac{KB_{1}}{AQ}=\frac{KA_{1}}{AQ}=\frac{MK}{MQ}.
Поэтому MT\parallel KB_{1}\parallel l_{2}
.
Если точка M
лежит внутри полосы между прямыми l_{1}
и l_{2}
, то через произвольную точку M_{1}
, лежащую вне этой полосы, проведём прямую l_{3}
, параллельную прямым l_{1}
и l_{2}
(указанным выше способом), а затем через точку M
проведём прямую, параллельную прямым l_{1}
и l_{3}
(или l_{2}
и l_{3}
) (рис. 2).
Перейдём к нашей задаче. Отметим точку M
в той полуплоскости относительно прямой l_{2}
, которая не содержит точек A
и B
. Тогда отрезки MA
и MB
пересекают прямую l_{2}
в некоторых точках C
и D
соответственно. Через точку N
пересечения отрезков AD
и BC
проведём прямую l
, параллельную прямым l_{1}
и l_{2}
. Пусть проведённая прямая пересекает боковые стороны AC
и BD
трапеции ACDB
в точках K
и L
соответственно. Проведём прямую CL
. Пусть она пересекает прямую l_{1}
в точке X
. Докажем, что X
— искомая точка.
Действительно, по известному свойству трапеции N
— середина KL
, а так как KL\parallel AX
, то B
— середина AX
, т. е. AX=2AB
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Аналогично можно построить отрезок n\cdot AB
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 8.75, с. 206
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 8.79, с. 203