6266. Два прямоугольных треугольника расположены на плоскости так, что их медианы, проведённые к гипотенузам, параллельны. Докажите, что угол между некоторым катетом одного треугольника и некоторым катетом другого треугольника вдвое меньше угла между их гипотенузами.
Решение. Параллельным переносом одного из двух данных треугольников совместим вершины C
и C'
их прямых углов, а гомотетией того же треугольника с центром в точке C
совместим их медианы. Тогда окружность с центром E
и радиусом CE
описана около обоих треугольников, причём угол между их гипотенузами — центральный и, значит, вдвое больше соответствующего вписанного угла, каковым является один из углов между катетами (на рисунке это углы: \angle AEA'=2\angle ACA'
). Для доказательства требуемого утверждения остаётся заметить, что проделанные выше преобразования одного из треугольников не меняют углов между прямыми.
Автор: Фельдман К. Э.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1992-1993, XIX, заключительный этап, 11 класс