6268. Диагонали трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
пересекаются в точке O
. Точки B'
и C'
симметричны вершинам B
и C
относительно биссектрисы угла BOC
. Докажите, что \angle C'AC=\angle B'DB
.
Решение. Поскольку угол симметричен относительно своей биссектрисы, точка B'
лежит на луче OC
, а точка C'
— на луче OB
. При этом OB'=OB
и OC'=OC
. Из подобия треугольников AOD
и COB
следует, что
\frac{AO}{OC'}=\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{DO}{OB'}.
Значит, AO\cdot OB'=DO\cdot OC'
. Поэтому точки A
, C'
, B'
и D
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Вписанные в эту окружность углы C'AB'
и B'DC'
опираются на одну и ту же дугу. Следовательно,
\angle C'AC=\angle C'AB'=\angle B'DC'=\angle B'DB.
Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 2.39, с. 35
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.42, с. 35