6269. Четырёхугольник KLMN
— вписанный и описанный одновременно; A
и B
— точки касания вписанной окружности со сторонами KL
и MN
. Докажите, что AK\cdot BM=r^{2}
, где r
— радиус вписанной окружности.
Указание. Прямоугольные треугольники OBM
и KAO
подобны.
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности данного четырёхугольника. Тогда KO
и MO
— биссектрисы углов K
и M
. Поскольку четырёхугольник вписанный, сумма этих углов равна 180^{\circ}
. Поэтому
\angle AKO+\angle BMO=\frac{1}{2}(\angle LKN+\angle LMN)=\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}=90^{\circ}.
Тогда прямоугольные треугольники OAK
и MBO
подобны. Значит, \frac{AO}{BM}=\frac{AK}{OB}
. Следовательно,
AK\cdot BM=AO\cdot OB=r\cdot r=r^{2}.