6272. Высота BN
и медиана CM
треугольника ABC
пересекаются в точке K
. Известно, что \angle BAC=60^{\circ}
, CK=6
и KM=1
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 30^{\circ}
, 90^{\circ}
.
Решение. Пусть AB=4x
. Из прямоугольного треугольника ABN
находим, что AN=\frac{1}{2}AB=2x
.
Опустим перпендикуляр MD
из точки M
на сторону AC
. Тогда D
— середина AN
. По теореме Фалеса
\frac{DN}{NC}=\frac{MK}{KC}=\frac{1}{6}.
Поэтому
NC=6DN=6x,~AC=AN+NC=2x+6x=8x.
Таким образом, в треугольнике ABC
известно, что AC=2AB
и \angle BAC=60^{\circ}
. Значит, этот треугольник — прямоугольный, \angle ABC=90^{\circ}
. Тогда \angle ACB=30^{\circ}
.