6273. В треугольнике ABC
проведена биссектриса BL
. Известно, что BL=AB
. На продолжении BL
за точку L
выбрана точка K
, причём \angle BAK+\angle BAL=180^{\circ}
. Докажите, что BK=BC
.
Решение. Первый способ. Обозначим \angle BLA=\angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle BLC=180^{\circ}-\angle BLA=180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\angle BAL=\angle BAK,
а так как BL
— биссектриса угла ABC
и AB=BL
, то треугольники BLC
и BAK
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, BK=BC
.
Второй способ. Обозначим \angle BLA=\angle BAC=\alpha
. Если M
— точка на продолжении стороны BA
за точку B
, то
\angle MAK=180^{\circ}-\angle BAK=\angle BAL=\alpha.
Поэтому,
\angle CAK=180^{\circ}-\angle BAL-\angle KAM=180^{\circ}-2\alpha,
а так как BK
— биссектриса угла ABC
, то
\angle CBK=\angle ABL=180^{\circ}-2\alpha=\angle CAK.
Тогда из точек A
и B
, лежащих по одну сторону от прямой CK
, отрезок CK
виден под одним и тем же углом. Значит, эти точки лежат на одной окружности. Из свойства вписанного четырёхугольника и теоремы о вписанных углах следует, что
\angle BCK=\angle MAK=\alpha=\angle BAC=\angle BKC,
т. е. треугольник KBC
— равнобедренный, BK=BC
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1999 г., второй тур, 7 класс