6275. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
взяты точки D
и E
соответственно, причём \frac{AD}{DB}=\frac{BE}{EC}=2
и \angle ACB=2\angle DEB
. Докажите, что треугольник ABC
— равнобедренный.
Решение. Пусть BD=2x
и \angle BED=\alpha
. Тогда AD=4x
и \angle ACB=2\alpha
.
Через вершину C
проведём прямую, параллельную DE
. Если проведённая прямая пересекает сторону AC
в точке M
, то по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{BD}{DM}=\frac{BE}{EC}=2.
Поэтому
DM=\frac{1}{2}BD=x,~BM=BD+DM=2x+x=3x=AM,
т. е. CM
— медиана треугольника ABC
.
С другой стороны, так как
\angle BCM=\angle BED=\alpha=\frac{1}{2}\angle ACB,
то CM
— биссектриса треугольника ABC
. Следовательно, треугольник ABC
— равнобедренный, AC=BC
.