6276. Диагональ AC
выпуклого четырёхугольника ABCD
делится точкой пересечения диагоналей пополам. Известно, что \angle ADB=2\angle CBD
. На диагонали BD
нашлась точка K
, для которой CK=KD+AD
. Докажите, что \angle BKC=2\angle ABD
.
Решение. На продолжении отрезка KD
за точку D
отложим отрезок DE
, равный AD
. Тогда
CK=KD+AD=KD+DE=KE,~AD=DE.
Обозначим \angle CBD=\alpha
. Тогда \angle ADB=2\alpha
. Заметим, что ADB
— внешний угол равнобедренного треугольника ADE
, поэтому
\angle AEB=\angle AED=\alpha=\angle CBE.
Значит, BC\parallel AE
.
При этом диагональ AC
четырёхугольника ABCE
делится диагональю BE
пополам, поэтому ABCE
— параллелограмм. Следовательно, \angle BEC=\angle ABE
, а так как BKC
— внешний угол равнобедренного треугольника CKE
, то
\angle BKC=2\angle BEC=2\angle ABD.
Что и требовалось доказать.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1999 г., второй тур, 8 класс