6278. На стороне BC
остроугольного треугольника ABC
взята точка K
. Биссектриса угла CAK
вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке L
. Докажите, что если прямая прямая LK
перпендикулярна отрезку AB
, то либо AK=KB
, либо AK=AC
.
Решение. Первый способ. Пусть H
— проекция точки L
на AB
, B_{1}
— точка, симметричная вершине B
относительно точки H
. Предположим, что точка B_{1}
совпадает с вершиной A
. В этом случае H
— середина AB
. Тогда высота KH
треугольника AKB
является его медианой. Следовательно, AK=KB
.
Если же точка B_{1}
отлична от A
, то
\angle LAK=\angle LAC=\angle CBL=\angle LBK=\angle LB_{1}K.
Поэтому из точек B_{1}
и A
, лежащих по одну сторону от прямой KL
, отрезок KL
виден под одним и тем же углом. Значит, точки A
, B_{1}
, K
и L
лежат на одной окружности. Тогда
\angle ALK=\angle KB_{1}B=\angle KBA.
Пусть M
— точка пересечения прямых AL
и BC
. Тогда треугольник LKM
подобен треугольнику BKH
по двум углам. Значит,
\angle KML=\angle KHB=90^{\circ},
т. е. биссектриса AM
треугольника KAC
является его медианой. Следовательно, AK=AC
.
Второй способ. Пусть M
— точка пересечения прямых AL
и BC
, P
— проекция точки K
на AL
, Q
— точка пересечения прямых KP
и AB
.
Если точка P
совпадает с M
, то \angle AMK=90^{\circ}
, т. е. биссектриса AM
треугольника KAC
является его медианой. Следовательно, AK=AC
.
В противном случае точка K
— ортоцентр треугольника ALQ
, поэтому
\angle KBL=\angle CBL=\angle CAL=\angle KAL=\angle CQL=\angle KQL.
Значит, точки L
, K
, B
и Q
лежат на одной окружности. Тогда
\angle KAB=\angle KLQ=\angle KBQ=\angle KBA.
Следовательно, AK=KB
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1999 г., второй тур, 9 класс