6280. На сторонах BC
, AC
и AB
равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
) выбраны соответственно точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
. Известно, что \angle BC_{1}A_{1}=\angle CA_{1}B_{1}=\angle BAC
; P
— точка пересечения отрезков BB_{1}
и CC_{1}
. Докажите, что четырёхугольник AB_{1}PC_{1}
— вписанный.
Решение. Обозначим
\angle BC_{1}A_{1}=\angle CA_{1}B_{1}=\angle BAC=\alpha,~\angle ABB_{1}=\beta.
Четырёхугольник ABA_{1}B_{1}
— вписанный, так как
\angle BAB_{1}=180^{\circ}-\angle CA_{1}B_{1}=180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\angle BAB_{1}.
Поэтому
\angle AA_{1}B_{1}=\angle ABB_{1}=\beta.
Из равенства углов BC_{1}A_{1}
и BAC
следует параллельность прямых A_{1}C_{1}
и AC
, а так как при этом \angle C_{1}AC=\angle A_{1}CA
, то AC_{1}A_{1}C
— равнобедренная трапеция. Поэтому
\angle AC_{1}P=\angle AC_{1}C=\angle AA_{1}C=\angle CA_{1}B_{1}+\angle AA_{1}B_{1}=\alpha+\beta.
Из треугольника ABB_{1}
находим, что
\angle AB_{1}P=\angle AB_{1}B=180^{\circ}-\angle BAB_{1}-\angle ABB_{1}=180^{\circ}-\alpha-\beta=180^{\circ}-\angle AC_{1}P.
Следовательно, около четырёхугольника AB_{1}PC_{1}
можно описать окружность.