6285. Серединный перпендикуляр к стороне BC
треугольника ABC
пересекает сторону AB
в точке D
, а продолжение стороны AC
за точку A
— в точке E
. Докажите, что AD\lt AE
.
Решение. Поскольку точка D
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC
, треугольник BCD
— равнобедренный. Поэтому \angle DCB=\angle DBC
.
Обозначим \angle ADE=\alpha
, \angle AED=\beta
. Пусть H
— середина BC
Тогда
\angle DCB=\angle DBC=90^{\circ}-\angle BDH=90^{\circ}-\alpha,
\angle ACD=90^{\circ}-\angle CEH=90^{\circ}-\beta.
Поскольку луч CD
пересекает отрезок AB
, концы которого лежат на сторонах угла ACB
, этот луч проходит между сторонами угла ACB
. Значит,
90^{\circ}-\alpha=\angle DCB\lt\angle ACB=90^{\circ}-\beta~\Rightarrow~\alpha\gt\beta.
Таким образом, в треугольнике ADE
сторона AD
, лежащая против угла AED
, равного \beta
, меньше стороны AE
, лежащей против угла ADE
, равного \alpha
. Что и требовалось доказать.