6287. В трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
угол при вершине A
— прямой, E
— точка пересечения диагоналей, F
— проекция точки E
на сторону AB
. Докажите, что углы DFE
и CFE
равны.
Решение. Из подобия треугольников BEC
и DEA
следует, что \frac{BC}{AD}=\frac{BE}{ED}
, а из теоремы о пропорциональных отрезках — \frac{BF}{AF}=\frac{BE}{ED}
. Поэтому \frac{BC}{AD}=\frac{BF}{AF}
. Значит, прямоугольные треугольники CBF
и DAF
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle CFE=\angle BCF=\angle ADF=\angle DFE.
Что и требовалось доказать.