6287. В трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
угол при вершине A
— прямой, E
— точка пересечения диагоналей, F
— проекция точки E
на сторону AB
. Докажите, что углы DFE
и CFE
равны.
Решение. Из подобия треугольников BEC
и DEA
следует, что \frac{BC}{AD}=\frac{BE}{ED}
, а из теоремы о пропорциональных отрезках — \frac{BF}{AF}=\frac{BE}{ED}
. Поэтому \frac{BC}{AD}=\frac{BF}{AF}
. Значит, прямоугольные треугольники CBF
и DAF
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle CFE=\angle BCF=\angle ADF=\angle DFE.
Что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2000 г., первый тур, 10 класс
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2011-2012, первый этап, задача 3, 10 класс