6289. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle CAD+\angle BCA=180^{\circ}
и AB=BC+AD
. Докажите, что \angle BAC+\angle ACD=\angle CDA
.
Решение. На продолжении стороны BC
за точку C
отложим отрезок CD'
, равный AD
. Тогда
\angle ACD'=180^{\circ}-\angle BCA=\angle CAD,
BD'=BC+CD'=BC+AD=AB.
Треугольники ACD'
и CDA
равны по двум сторонам и углу между ними (сторона AC
— общая). Поэтому \angle CAD'=\angle ACD
. Поскольку треугольник ABD'
— равнобедренный,
\angle BAC+\angle ACD=\angle BAC+\angle CAD'=\angle BAD'=\angle BD'A=\angle CDA.
Что и требовалось доказать.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2000 г., второй тур, 7 класс