6291. Точка D
лежит на основании AC
равнобедренного треугольника ABC
. Точки E
и F
таковы, что середина отрезка DE
лежит на стороне AB
, середина отрезка DF
лежит на стороне BC
и \angle EDA=\angle FDC
. Середина K
отрезка EF
лежит внутри треугольника ABC
. Докажите, что \angle ABD=\angle CBK
.
Решение. Пусть L
— середина DE
, а M
— середина DF
. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что KMDL
— параллелограмм.
Через точку K
проведём прямую, параллельную AC
и обозначим точки пересечения проведённой прямой со сторонами AB
и BC
через P
и Q
соответственно. Докажем, что треугольник KPL
подобен треугольнику KRM
.
Действительно, так как LK\parallel DM
и MK\parallel DL
, то
\angle PKL=\angle CDM=\angle ADL=\angle RKM,
а \angle KPL=\angle KRM
, так как треугольник PBR
— равнобедренный. Таким образом, треугольники KPL
и KRM
подобны по двум углам.
Поскольку треугольники ALD
и CMD
тоже подобны (по двум углам), то
\frac{KR}{PK}=\frac{KL}{KM}=\frac{DL}{DM}=\frac{AD}{DC}.
Обозначим
PK=a,~KR=b,~\frac{KR}{AD}=\frac{PK}{CD}=k.
Тогда
PR=PK+KR=a+b,~AD=kb,~DC=ka,~AC=AD+DC=kb+ka=k(a+b).
Значит,
\frac{AD}{KR}=\frac{kb}{b}=k,~\frac{AC}{PR}=\frac{k(a+b)}{a+b}=k=\frac{AD}{KR},
а так как
\frac{AC}{PR}=\frac{BC}{BR}=\frac{AB}{BR}~\mbox{и}~\angle BAD=\angle BRK,
то треугольники ABD
и RBK
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \angle ABD=\angle CBK
.